Materi Matematika Ekonomi : Deret dalam Penerapan Ekonomi

Artikel ini membahas tentang pengertian deret, rumus, penerapannya dalam ekonomi, contoh soal dan juga pembahasan.

Sumber gambar : www.championtutor.com 

Pada kesempatan kali ini, yang akan dibahas adalah mengenai deret ukur dan deret hitung. Deret merupakan serangkaian bilangan yang terbentuk dengan pola yang teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur pembentuk deret disebut suku. Suku baik dalam deret hitung maupun deret ukur  dinotasikan dengan huruf U, beberapa literatur lain menggunakan huruf S (perhatikan bahwa notasi tersebut menggunakan huruf kapital). Jumlah nilai suku-suku umumnya dinotasikan dengan huruf S namun literatur lain juga menggunakan huruf J. Dalam pembahasan ini suku dilambangkan dengan huruf U dan jumlah nilai suku dilambangkan dengan huruf S (perlu diketahui sebelumnya bahwa terdapat perbedaan antara jumlah suku dengan jumlah nilai suku). Berdasarkan jumlah sukunya, deret terbagi menjadi deret berhingga dan deret tak berhingga. Deret berhingga adalah deret yang memiliki jumlah suku yang terbatas sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang jumlah sukunya tidak terbatas. Berdasarkan pola perubahan bilangan di setiap sukunya, deret terbagi menjadi deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni.

Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang menyusun deret disebut suku.

Yang akan dibahas untuk kali ini adalah perhitungan deret hitung dan deret ukur yang uraiannya adalah sebagai berikut :

Deret Hitung

Adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap suatu bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai suku yang berurutan.

Contoh :

7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda = 5)

93, 83, 73, 63, 53, 43  (pembeda = - 10)

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (pembeda = 2)

Rumus Deret Hitung :

Mencari Suku ke-n dari deret hitung adalah Sn = a +(n-1)b

a : suku pertama atau S1

b : pembeda

n : indeks suku

Contoh soal :

7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah bilangan deret. Maka carilah suku ke-10 (S10) dari bilangan deret tersebut !

S10 = a + (n - 1)b

S10 = 7 + (10 - 1)5

S10 = 7 + 45

S10 = 52

Maka, Suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah 52.

Deret Ukur

Adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap suatu bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni hasil bagi nilai suatu suku terhadap suku lainnya.

Contoh :

5, 10, 20, 40, 80,160         (pengganda = 2)

512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)

2, 8, 32, 128, 512          (pengganda = 4)

Rumus

Rumus Suku ke-n Deret Ukur adalah

Sn = ap^n-1

Yakni :

a : suku pertama

p : pengganda

n : indeks suku

Contoh Soal :

Nilai suku ke 10 (S10) dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80,160 berapa ?

Sn = ap^n-1

S10 = 5 (2)^10-1

S10 = 5 (512)

S10 = 2560

Maka, Suku ke 10 dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80,160 adalah 2560

Demikian adalah contoh-contoh menghitung deret hitung dan deret ukur.

DERET DALAM PENERAPAN EKONOMI

Dibidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan dan pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad ( relevant) diterapkan untuk menganalisisnya

Model perkembangan usaha

Jika perkembangan variable-variable tertentu dalam kegiatan usaha. Misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal. Berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut.

Berpola seperti deret hitung maksudnya disini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Contoh

Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyaj 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah yang dihasilkan pada bulan kelima? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai bulan tersebut?

Diketahui : a = 3.000

b = 500

c = 5

jawab:

S 5 = 3.000 + (5 – 1) 500 = 5.000

J6 = (3.000 + 5.000) = 20.000

Model Bunga Majemuk

Model deret untuk bunga majemuk (bunga berbunga) yaitu deret ukur khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan atau siapa saja yang melakukan transaksi hutang piutang dengan model ini dan transaksi ini biasa disebut kredit. Sacara sistematis dirumuskan :

Fn = P (1 – i) n

Rumus ini untuk kredit dengan system pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaliknya jika suku bunnga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun, rumusnya menjadi :

Fn = P (1+( )) nm

Keterangan:

Fn = total nilai kredit dengan n periode

P = total nilai lredit awal periode

m = frekuensi pembayaran suku bunga dalam setahun

i = suku bunga kredit

n = banyak tahun

Contoh soal:

Tn. A kredit mobil dengan uang muka Rp10.000.000 sisanya kredit yaitu Rp30.000.000 dengan suku bunga kredit 2% perbulan dalam jangka waktu 2 tahun.

a. Berapakah total kredit setelah jatuh tempo pelunasan?

b. Berapakah total harga perolehan mobil Tn. A?

Jawab:

a. Total kredit setelah jatuh tempo pelunasan

     F2 = 30.000.000 (1+0,02) (2)(12)

= 30.000.000 (1,02) (24)

= 48.233.117,48

b. Total harga perolehan mobil Tn. A

     THP : 10.000.000 + 48.253.117,48 = 58.253.117,48

    Penerapan yang lain pada tabungan nasabah suatu bank,

    Contoh soal:

Tn. B ingin total tabungan pada lima tahun yang akan datang sebesar Rp20.000.000, asumsi suku bunga pertahun konstan sebesar 6%. Berapakah Tn. B besarnya saat mulai menabung di awal tahun?

Jawab:

F5 = P (1 + i) n

20.000.000 = P (1 + 0,06) 5

20.000.000 = P(1,06) 5

20.000.000 = 1,338P

P =

P = 14.947.683,11

Deret untuk pertumbuhan perduduk

Robert Malthus menyatakan, bahwa pertumbuhan penduduk mengikuti deret ukur, sedangkan pertumbuhan pangan mengikuti deret hitung. Dengan demikian model pertumbuhan penduduk lebih sesuai dengan deret ukur. Secara sistematis dapat dirumuskan sebagai berikut :

Pt = P1 ( 1 + r ) t-1

Keterangan :

Pt = total penduduk pada periode t

r = tingkat pertumbuhan

p1 = total penduduk pada peride awal periode (%) pertahun

t = peride waktu (tahun)

Contoh soal :

Di kota A pada tahun 2000 total penduduknya sebanyak 2.000.000 jiwa dan menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduk sebesar 2% pertahun. Berapakah total penduduk di kota A tahun 2004?

Diketahui :

P1 = 2.000.000

r = 2%=0,02

t = 2004-2000 = 4 tahun

Pt = ?

Jawab :

Pt = P1 ( 1 + r ) t-1

= 2.000.000 (1+0,02) 4-1

= 2.000.000 (1,02) 3

= 2.122.416

Sekian tulisan kali ini,semoga bermanfaat dan sampai jumpa di artikel lainnya!

Referensi:

Buku matematika ekonomi Dumairy

Subscribe to receive free email updates: